读书笔记：与谐振子相联系的二阶常系数线性微分方程的解
浅浅记录一下最新学习的章节，以免总是忘记(/”≡ _ ≡)=。这一章节主要是对简单的受迫振动的运动方程进行分析。在归纳总结所学的相关知识之前，这里声明此次分析的问题以及解法仅限于可以用线性微分方程描述的物理系统，对于非线性微分方程的情况并不适用。
1 无阻尼的受迫振子
对于一个有外策力作用的谐振子，有以下方程：
\[m\frac{\mathrm{d^{2} } x}{\mathrm{d} t^{2} }+kx = F(t)\]假定此处的力是一个具有初始相位的余弦波：\(F(t)=F_{0} e^{i(\omega t+\bigtriangleup )} =\hat{F} e^{i\omega t}\)
由此，可以简单推导出这个运动方程的解\(x\)具有相同的形式：\(x(t)=\hat{x} e^{i\omega t}\)
注意，这里的假定事实上将力与位移变成了一个既包含实数又包含虚数的复数，这在物理意义上是不合理的，只有实部的解才是有意义的；但对于线性方程来说，带入复数后，等式右侧实部等于左侧实部，右侧虚部等于左侧虚部，虚部的引入没有引入新的实部，所以并不影响实部的解法。虚部的引入让计算变得简单了。
这样，方程就变成了：
\[(i\omega )^{2}\hat{x}+\frac{k\hat{x} }{m} =\frac{\hat{F} }{m}\]这是一个纯粹的代数方程，解得：
\[\hat{x} =\frac{\hat{F}/m }{k/m-(\omega ^{2} )} =\frac{\hat{F}}{m(\omega _{0}^{2} +\omega ^{2})}\]这一等式表明，\(\hat{x}\)为一个实数，所以和的相差为0或者180度。当\(\omega\)与\(\omega _{0}\)非常接近时，\(\hat{x}\)的模，即位移变得极大，我们会得到一个非常强的响应，可能导致弹簧的断裂。
2 有阻尼的受迫振子
在实际系统中，不可能存在无限大的响应，因为响应往往受到阻力一类的限制，所以我们在上述的方程中，补入一个摩擦项。在很多情况下，摩擦项与速度成正比，所以我们得到以下方程：
\(m\frac{\mathrm{d^{2} } x}{\mathrm{d} t^{2} }+\gamma m\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} +m\omega _{0}^{2}x = F(t)\)[电路情形（LRC串联）：\(L\frac{\mathrm{d^{2} } q}{\mathrm{d} t^{2} }+R\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} +\frac{q}{C} = V(t)\)]
同样地，对于线性方程，我们按以上方法求解：
\[(i\omega )^{2} \hat{x} +\gamma (i\omega )\hat{x} +\omega _{0}^{2}\hat{x}=\hat{F}/m\] \[\hat{x}=\frac{\hat{F}}{m(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}+i\gamma \omega )}\]为了更清楚的表示上式的物理意义，我们将上式写成振幅与余弦波相乘的形式：
\[x(t)=\frac{1 }{m(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}+i\gamma \omega)} e^{i\omega t}\times F_{0}e^{i\bigtriangleup }\]在上式中，系数\(\hat{R}=\frac{1 }{m(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}+i\gamma \omega)}\)是一个复数，我们将它用某个模\(\rho\)和辐角\(\theta\)来表达:\(\hat{R}=\rho e^{\theta}\)
于是\(x(t)\)可以写成：\(x=\rho F_{0} e^{i(\omega t+\bigtriangleup +\theta )}\)，只取实部我们得到\(x=\rho F_{0}\cos (\omega t+\bigtriangleup +\theta )\)
一个复数的模的平方等于这个复数乘以它的共轭复数，由此求得\(\rho\)：
\[\rho ^{2}=\frac{1}{m^{2}\left [ (\omega _{0}^{2} -\omega ^{2})^{2}+\gamma ^{2}\omega ^{2} \right ] }\]相角\(\theta\)的正切值则为虚部与实部的比值：
\(\hat{R}=\frac{m(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}-i\gamma \omega) }{[m(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}+i\gamma \omega)]\times[m(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}-i\gamma \omega)] }=\rho ^{2} m(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}-i\gamma \omega)\),\(\tan \theta =\frac{-i\gamma \omega }{\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}}\)
当\(\gamma\)很小且\(\omega\)与\(\omega _{0}\)非常接近时，\(\omega _{0}^{2} -\omega ^{2}\approx 2\omega _{0}(\omega _{0}-\omega)\)，所以：
\[\rho ^{2}=\frac{1}{4m^{2}\omega _{0}^{2}\left [ (\omega _{0} -\omega)^{2}+\gamma ^{2}/4 \right ] }\]又因为\(\frac{1}{2} (\rho^{2})_{max} =\frac{1}{2m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma ^{2}}\)，所以曲线\(\rho^{2}-\omega\)的半高宽为\(\gamma\)。当摩擦影响越来越小时，共振越来越尖锐。
品质因数\(Q=\frac{\omega _{0}}{\gamma } (=\frac{\omega _{0}L}{R} )=\frac{\omega _{0} }{\bigtriangleup \omega }\)可以作为共振宽度的量度，共振越窄，\(Q\)就越高；例如\(Q=1000\)表示这个共振宽度只有频率的千分之一。注意，这里的\(Q\)值是一个与\(\gamma\)相联系的量，而是摩擦项的系数，所以Q值与谐振子的能量耗散紧密相连。我们会在振子的能量部分继续分析。
3 进一步分析由运动方程推导出受迫振子的功率与能量的变化
在上一节中，我们给出了受迫振子的运动方程：
\[m\frac{\mathrm{d^{2} } x}{\mathrm{d} t^{2} }+\gamma m\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} +m\omega _{0}^{2}x = F\]则可以进一步求得外力F的功率：
\[P=F\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} =m[\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d^{2} } x}{\mathrm{d} t^{2} }+\omega _{0}^{2}x\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}]+m\gamma (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[\frac{1}{2}m(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2} +\frac{1}{2}m\omega _{0}^{2}x^{2} ]+ m\gamma (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2}\]上式的中括号部分就是谐振子动能与是能的总和，均值不随时间改变，微分值为0，故阻尼项\(m\gamma (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2}\)将吸收全部的能量，而\(x(t)=\hat{x} e^{i\omega t}\)，平均功率为：
\(\left \langle P \right \rangle=\left \langle m\gamma (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2} \right \rangle=m\gamma\omega ^{2}\left \langle x^{2} \right \rangle\)[电路情形（LRC串联）：\(\left \langle P \right \rangle=R\left \langle I^{2} \right \rangle\)]
而弹簧振子的贮能为
\[\left \langle E \right \rangle=\frac{1}{2}m(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^{2}+ \frac{1}{2} m\omega _{0}^{2}x^{2}=\frac{1}{2}m(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2} )\times \left \langle x^{2} \right \rangle\]在这里，我们再一次给出Q值的定义：系统的平均贮能除以系统驱动每弧度所做的功。即：
\[Q=\frac{W}{dW/d\phi } =\frac{\frac{1}{2}m(\omega ^{2}+\omega _{0}^{2} )\times \left \langle x^{2} \right \rangle}{\frac{\gamma m\omega ^{2}\left \langle x^{2} \right \rangle }{\omega } } =\frac{\omega ^{2} +\omega _{0}^{2} }{2\gamma \omega }\]一个高Q值的电路意味着振动的贮能远高于驱动一个周期所需的功。对于一个接近共振的谐振子，我们可以得出前文的定义\(Q=\frac{\omega _{0}}{\gamma }=\frac{\omega _{0} }{\bigtriangleup \omega }\)
4 阻尼振动、受迫振动与二阶常系数线性微分方程
对于一个阻尼振动，如果系统中没有受迫力（\(F(t)=0\)），我们依旧以\(x(t)=A e^{i\alpha t}\)的形式求解运动方程，可得：
\[(i\alpha )^{2} +\gamma (i\alpha ) +\omega _{0}^{2}=0\] \[\alpha =i\gamma /2\pm \sqrt{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}/4}\]则通解的数学形式为：\(x=e^{-\gamma t/2} (C_{1} e^{it\sqrt{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}/4}}+C_{2} e^{-it\sqrt{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}/4}} )\)
对于一个有物理意义的解来说，\(x\)应该是一个实数解，所以\(C_{2}\)是\(C_{1}\)的共轭复数: \(C_{2}=C_{1}^{*}\)。
根据线性微分方程的解的叠加原理，我们可以把一个上述的自由解与带有驱动力的受迫解相叠加，表征一个自然振动突然加上受迫力的系统，观察解的形式我们可以知道这个系统在初始一段时间内存在着瞬变态（即自由解），经过足够长的时间后，这个自由解会消失。最终，系统只会剩下唯一的受迫解。类似地，不同的受迫力的解的叠加也可用于描述一个受叠加驱动力作用的受迫振子。
参考书籍：《费曼物理学讲义》